Master 2018 2019
Stages de la spécialité SAR
Opérateurs morphologiques, treillis quotients et transformations algébriques en analyse musicale computationnelle


Lieu : Ircam - Télécom Paris-Tech
Encadrant : Carlos Agon, Moreno Andreatta, Isabelle Bloch
Dates :18 février – 31 juillet 2019
Rémunération :Tarif en vigueur IRCAM
Mots-clés : Parcours ATIAM : Informatique musicale

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Description

La morphologie mathématique (MM) est une théorie générale de l’analyse de formes géométriques fondée, pour sa partie déterministe, sur des concepts empruntés à la théorie des treillis, la topologie, la géométrie discrète, et la géométrie intégrale entre autres [Serra, 1982]. Elle a été étendue pour traiter des questions relatives au calcul spatial [Bloch, 2002], aux raisonnement logiques (au travers de la Morpho-Logique) [Bloch and Lang, 2002], ou encore pour raisonner sur des concepts émanant de l’Analyse des Concepts Formels ou FCA [Atif et al., 2013]. A partir de quelques résultats récents sur les relations entre la MM et la FCA [Relaño 2017], ce stage se concentre sur une étude des opérateurs morphologiques susceptibles de définir des treillis quotients ainsi que des transformations algébriques correspondantes pour l’analyse musicale computationnell TDS (reviser) mail pur responsablese. Traditionnellement, la recherche en musicologie computationnelle s’oriente vers des concepts et des outils qui s’appliquent soit à l’analyse du signal audio, soit à l’analyse de structures symboliques, de manière à peu près orthogonale. L’objectif principal de ce stage est d’étudier des modèles mathématiques issus du calcul algébrique et topologique permettant éventuellement de relier ces deux approches à travers la notion de « représentation » des données dans des langages de programmation pour l’analyse et la composition assistée par ordinateur [Agon, 2004]. Plus exactement, nous allons nous intéresser à des modèles de calcul et des paradigmes informatiques non conventionnels qui utilisent des structures mathématiques de type algébrique, géométriques, topologiques et, comme dans le cas de la morphologie mathématique, un mélange des structures mentionnées précédemment et des structures d’ordre (treillis de Galois). Afin de restreindre l’objet d’étude, dans le cadre de ce stage nous allons nous concentrer sur le Tonnetz (ou réseaux des notes), une représentation des structures musicales qui est susceptible d’être formalisée à l’aide de la notion de complexe simplicial [Bigo 2013 ; Bigo et al. 2015] et sur le permutoèdre d’Estrada, une représentation de l’espace harmonique basée sur la théorie des treillis. Si l’utilisation du Tonnetz et de ses variantes (isotropes et non-isotropes) permet d’aborder des problèmes-type de la communauté MIR tels que la reconnaissance d’accords, des rythmes, des motifs et, dans une échelle plus large, des progressions harmoniques [Bigo 2013 ; Bergomi 2015 ; Lascabettes, 2018], la question de ses liens avec d’autres structures combinatoires, telles le permutoèdre, reste ouverte, en particulier si l’on essaie d’établir des liens entre des approches basées sur l’homologie persistante et des approches algébriques issus de la théorie des treillis. On retrouve ainsi, via l’analyse musicale, les problèmes qui se posent dans l’analyse topologique des données scientifiques ainsi que les efforts de la communauté des chercheurs travaillant sur l’homologie persistante pour développer des logiciels susceptibles de calculer l’homologie persistante à partir de complexes simpliciaux. D’un point de vue théorique, le stage s’efforcera de faire le lien entre différentes structures algébriques et topologiques (treillis, graphes, complexes simpliciaux, Tonnetz...) afin de mettre en évidence ce que pourrait apporter la morphologie mathématique dans la formalisation des structures musicales. En particulier, il s’agira d’interpréter musicalement les opérateurs morphologiques à la base des treillis quotients ainsi que les multiples définitions des distances dans des espaces d’accords [Genuys, 2017].

Bibliographie

MorphoMath & FCA

• [Agon et al. 2018] Agon C., Andreatta M., Atif J., Bloch I., Mascarade P. (2018), « Musical Descriptions Based on Formal Concept Analysis and Mathematical Morphology », in P. Chapman et al. (eds), Graph-Based Representation and Reasoning, Proceedings of the 23rd International Conference on Conceptual Structures, ICCS 2018, p. 105-119. • [Atif et al. 2013] Atif, J., Bloch, I., Distel, F., & Hudelot, C., « Mathematical morphology operators over concept lattices », In Formal Concept Analysis (pp. 28-43), Springer Berlin Heidelberg, 2013. • [Bloch, 2002] Bloch, I., « Modal Logics based on Mathematical Morphology for Spatial Reasoning », Journal of Applied Non Classical Logics, 12(3-4), 399-424, 2002. • [Bloch et Lang, 2002] Bloch, I., & Lang, J., « Towards mathematical morpho-logics ». In Technologies for Constructing Intelligent Systems 2, Physica-Verlag HD, 367-380, 2002. • [Bloch et Atif, 2016] Bloch. I, Atif. J., « Defining and computing Hausdorff distances between distributions on the real line and on the circle », Mathematical Morphology-Theory and Applications, 2016. • [Relaño 2017] Relaño P., Morphologie mathématique, FCA et musicologie computationnelle, Master 2 maths-info, ENS-Lyon / LTCI/Télécom ParisTech / LAMSADE, Université Paris Dauphine / IRCAM-CNRS-UPMC), March-July 2017 • [Serra, 1982] Serra, J., Image Analysis and Mathematical Morphology, Academic Press, London, 1982

Tonnetz, FCA et musicology computationnelle

• [Agon, 2004] Agon, C., Langages de programmation pour la composition musicale, HDR, UPMC, 2004 • [Bergomi, 2015] Bergomi, M., Dynamical and topological tools for (modern) music analysis, thèse de doctorat en cotutelle UPMC/LIM Milan, 2015. • [Bergomi et al., 2016], Bergomi, M., A. Baratè, B. Di Fabio, « Towards a Topological Fingerprint of Music », in in A. Bac and J.-L. Mari (eds), Computational Topology in Image Context, LNCS, pp 88-100 • [Bigo, 2013] Bigo L., Représentation symboliques musicales et calcul spatial, thèse de doctorat, université Paris Est Créteil / Ircam, décembre 2013 • [Bigo et al., 2015] Bigo L., D. Ghisi, A. Spicher, M. Andreatta, « Representation of Musical Structures and Processes in Simplicial Chord Spaces », Computer Music Journal, vol. 39, n° 3, p. 9-24, 2015. • [Freund et al., 2015] Freund A., M. Andreatta, J.-L. Giavitto, « Lattice-based and Topological Representations of Binary Relations with an Application to Music », AMAI, vol. 73, n° 3-4, 311-334, 2015. • [Genuys 2017] Genuys G., Étude de deux concepts mathématico-musicaux : l’homométrie non-commutative et les distances d’accords, UPMC/Ircam, 2017. • [Lascabettes 2018] Lascabettes P., Homologie persistante appliquée à la reconnaissance de genres musicaux, stage du Master 1 en mathématiques fondamentales (co-direction M. Andreatta et C. Guichaoua, SMIR Project) • l’Ecole Normale Superieure Paris-Saclay / université de Strasbourg, 2018 • [Masetti 2014] Masetti, G., Chord Catalogs and Estrada Classes : partially ordered Set approach, Tesi di Laurea en mathématiques (équivalent Master 2 mathématiques), juillet-septembre 2014 (co-direction M. Andreatta et F. Acquistapace, Université de Pise. Co-encadrement : Mattia Bergomi).